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牛顿摆计算

导读 【#牛顿摆计算#】1、牛顿摆(又叫牛顿摆球、动量守恒摆球、永动球、物理撞球、碰碰球等)是一个1960年代发明的桌面演示装置,五个质量相同...
【#牛顿摆计算#】

1、牛顿摆(又叫牛顿摆球、动量守恒摆球、永动球、物理撞球、碰碰球等)是一个1960年代发明的桌面演示装置,五个质量相同的球体由吊绳固定,彼此紧密排列。 牛顿摆是由法国物理学家伊丹·马略特(Edme Mariotte)最早于1676年提出的。当摆动最右侧的球并在回摆时碰撞紧密排列的另外四个球,最左边的球将被弹出,并仅有最左边的球被弹出。

2、当然此过程也是可逆的,当摆动最左侧的球撞击其它球时,最右侧的球会被弹出。当最右侧的两个球同时摆动并撞击其他球时,最左侧的两个球会被弹出。同理相反方向同样可行,并适用于更多的球,三个,四个,五个……。

3、原理

4、质点质量

5、假定各金属球是具有相同质量的质点。当一个质点撞击第二个质点,第一个质点的动量与能量立即转移到第二个上,如此进行下去,直到最后一个质点获得了动量与能量后弹出。即使两个或更多质点撞击球组,情况依然相同。但是,瞬间运动则需要无穷大的加速度并且质点质量为零。

6、两个球的碰撞

7、当一个运动着的球撞击静止的球,压缩波将在两个球中传递。

8、理想状况

9、实际状况中的牛顿摆存在一个问题:一个运动的球表现为它的质量好像都集中在其几何中心。在理想状况下的牛顿摆中,金属球是完全相同的质点,将发生完美的碰撞。

10、动量守恒

11、动量守恒定律表明在一个封闭系统中,给定方向的动量是恒定的。动量表示为:p=mv (p代表动量,m代表质量,v代表给定方向的速度)当小球甲撞击小球乙,它以特定的方向运动,例如从东向西运动。那意味着,它的动量(动量是矢量)也以从东向西的方向运动。任何小球运动方向上的改变将导致动量的改变,这只有在受到外力作用的情况下才能实现。那就是为什么小球甲不是简单地被小球乙弹开——它的动量将能量以从东向西的方向传递过所有的球。实际上,牛顿摆并不是一个封闭系统,金属球仍然受到重力的作用,会使小球弹开的速度减缓,直至停止(此时动量不守恒)。当最后一个球无法继续传递动量与能量,它就被弹开。当它运动到最高点时,它只蕴含势能,而动能减少到零,重力使它向下运动,循环再次开始。

12、能量守恒

13、能量守恒定律表明在一个封闭系统中,总能量是恒定的。能量表示为:KE= 0.5mv² (KE代表动能)当一端的球以一定的能量碰撞球组,它的能量将转移给另一端的球(而不是消失)。

14、弹性碰撞与摩擦力

15、当两个金属球碰撞时,弹性碰撞就会发生。在碰撞前后,所具有的动能不变。在理想状况下,即球只受到动量、能量与重力作用,所有的碰撞都是完美的弹性碰撞而牛顿摆的结构也是完美的,金属球将永远运动下去。但不可能存在完美的牛顿摆,因为其总会受到摩擦力的作用而使能量损耗。一部分摩擦力来自空气阻力,而主要的来自小球本身。所以牛顿摆中的碰撞并不是真正的弹性碰撞而是非弹性碰撞,因为碰撞后的动能比碰撞前的有所损失(摩擦力所致)。但根据能量守恒定律,总能量保持不变。由于球的形变,组成球的分子间将动能转化为热能。小球发生振动,同时产生了牛顿摆标志性的清脆的碰撞声。

16、牛顿摆原理的推导

17、假定你拉起n个质量为m的金属球来碰撞静止的球。根据动量守恒定律:

18、(1)p=nmv=MV(M代表n个球的总质量,V代表它们的运动速度。)

19、同样的,根据能量守恒定律:

20、(2)KE= 0.5nmv = 0.5MV

21、在等式(1)中,解m得:m=MV/nv,替换等式(2)中的m得:

22、0.5nmv = 0.5MV →0.5nv MV/nv= 0.5MV →v=V

23、也就是说,球组另一端的球将以速度v运动。

24、在等式(1)中,解v得:p=nmv=MV→v=MV/nm

25、将v平方得:v =M V /n m ,替换等式(2)中的v 得:

26、0.5nmv = 0.5MV →0.5nmM V /n m = 0.5MV →M/nm=1→M=nm

27、也就是说,开始运动的球的质量与最初的球的质量相同。

28、结论是,既然所有的球都具有相同的质量,如果你以特定的速度拉起两个球碰撞球组,另一端的两个球将以相同的速度弹开。如果拉起四个球,另一端的四个球将弹开。

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