共轭梯度法是一种高效的数值优化算法，尤其适用于大规模稀疏线性方程组的求解。它结合了梯度下降法和共轭方向法的优点，能够在较少迭代次数内达到最优解。🔍
首先，我们从目标函数出发，定义一个二次型函数 \(f(x) = \frac{1}{2}x^TAx - b^Tx\)，其中 \(A\) 是对称正定矩阵。初始点设为 \(x_0\)，计算初始梯度 \(r_0 = -\nabla f(x_0)\)。接着，通过构建一组共轭方向序列 \(\{p_k\}\)，逐步逼近最优解。具体步骤包括：计算搜索步长 \(\alpha_k\)，更新解 \(x_{k+1} = x_k + \alpha_k p_k\)，以及修正残差 \(r_{k+1} = r_k - \alpha_k Ap_k\)。🎨
共轭条件确保了每一步搜索方向相互独立，从而显著提高了收敛速度。此外，通过引入弗雷德伯格-约翰逊（Fletcher-Reeves）公式或波尔达科夫（Polak-Ribière）公式，可以动态调整共轭方向，进一步优化性能。💪
共轭梯度法不仅理论严谨，而且实现简单，在机器学习、图像处理等领域广泛应用。🔍💻